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 看点  新年伊始,朋友圈里流行起刷支付宝的年度预测,大数据已然成为了生活的一部分。在大数据的时代,孩子们需要拥有什么样的思维才能与数据共舞?本文的作者Dr.Bing是一位德国儿童教育学博士妈妈,她用生动的案例介绍了四个常见的认知“谬误”:幸存者偏差、线性方法错误、小概率谬误和误机谬误,说明了数学思维对于甄别谬误的重要性。最后,她用购买彩票的案例,阐释了数学思维对我们日常生活决策的影响,指出了数学是一种认知世界,识别现象背后本质的强有力的工具,更是一套帮助人们决策的模型。

 

 

经常有家长问:“学校数学学那么难干什么?将来会买菜就可以啦。”

 

我就很想反驳:买菜是最用不上数学的,一句“不用找”就行啦!

 

实际上,数学可有用啦!

 

 

举个例子:

 

近年来拼爹帖特别多:月薪三万撑不起一个暑假;家委会参选人资质各个能当CEO;北大妈妈家小孩时间表;10岁孩子旁听复旦课程等等,看完简直觉得压力山大,没活路了!

 

如果用数据算算这些文章中的家长在人口中的比例就一目了然了:

 

最新人口普查数据,大专及以上学历人口占总比12.26%。本科学历人口占中国总人口约6%,然后像文中父母那样还是名校+高收入+没有移民海外的,恐怕0.5%都占不到。如果他们生的牛娃把所有的社会资源都占去了搞得咱娃没活路,那他们得生多少娃?

 

会用数字思考,你会发现很多焦虑完全是多余的!(当然社会竞争加剧是客观的存在,但很多帖子把它无尽放大了。)

 

最近几天在做今年的投资总结,然后埋怨自己笨。聪明的你肯定猜出来了:肯定是有项目没投好嘛……

 

没错,我想了一下,归根结底还是自己从小数感不好,又用错了数学模型不自知,导致了这个决策错误。对当年没有认真对待数学感到后悔,于是特此写下了本文。

 

1  
幸存者偏差

 

二战时,盟军有一个研究小组要给飞机装装甲,保护好飞机,因为装甲会让飞机太重,所以不能装太多,于是研究小组就开始统计,飞机哪个部位受到的攻击最多。

 

军方就把所有上过战场的飞机的弹孔做了一个统计,就产生了这样一个表格。

 

 

结论是:飞机引擎弹孔最少。那是不是我们就可以不保护引擎,去保护那些弹孔多的位置呢?

 

这时有个叫 Abraham Wald 的数学家跳出来说:错!引擎中弹的飞机能飞回来吗?那些坠落的飞机是不参与统计的!

 

这就是著名的幸存者偏差(survivorship bias),就是说,你只计算了那些“你看得见”的数据,而没有考虑那些不说话的数据,就会导致错误的决策,死了还不知道为啥。

 

这个现象在所有领域都存在:

 

1. 教育领域:学历无用论。小明说:我身边的人,大学毕业的哥哥还在打工,隔壁王大妈初中没毕业的孩子开汽修却发了,所以咱们都别念书了。

 

2. 投资领域:有个对共同基金的调查,发现他们95~04 年增长了178.4% ,年均增长率10.8% ,赶紧一窝蜂地买买买啊! 然而事情并没有这么简单,原来之前的调查并没有纳入这期间消亡了的基金,重新统计后发现年均收益率就是8%而已。

 

数学在生活中很有用对不对!

 

其实我们生活中所有的决策,都是基于数学的。即使你很任性说我做决策就是不讲利弊,讲我高兴不高兴。但其实,你所谓的高兴不高兴,也就是你下意识的一套基于数学的决策机制,它只是没有呈现在表意识,你没法用逻辑理性描述出来而已,数学是无处不在的。

 

 

2  
线性方法错误

 

一个常见的错误:很多人喜欢把很复杂的问题,归为一条直线。

 

例如:新闻说房价又涨啦,一个月薪三千的打工族要100年才能买到北京的房子。听着很吓人,但你想,一个刚毕业的起薪三千很正常,但工作5年10年后呢?北京平均工资都9791了啊!

 

还有和我们息息相关的经济增长、股票升值等等问题,以及一些自己吓唬自己的例子:养生文说近年中国患癌人数太多啦!按这个增长速度,那20XX年全国人民都要患上癌症啦。

 

线性错误本质是什么?好比向天发射一个炮弹,往上飞的时候记录了轨迹,然后就跑了,以此判断炮弹会一直飞到外太空。事实是当然不会,炮弹的轨迹是抛物线。

 

 

线性错误,用数学的角度看就是这样:

 

一个事件的发展,用数学来描述其实是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数……但你光看了一开始直的那一段,忘了弯曲的那一段——光看到了某个问题当下的发展趋势,就预测将来也会这样无限制地发展下去。但其实任何事情发展到一定程度,都会有一个饱和的过程,自然就会发展出相应的办法去解决。

 

3
小概率谬误

 

这是第二个经常犯错的问题。

 

有个股票经纪人跟你打电话说自己能预测股票涨跌,一开始你也不信,但他每天给你发微信,然后每天都中,终于第十天你忍不住了:这人肯定有内幕消息嘛!就把全副身家都搭上了,结果第十一天只能关灯吃面。

 

这位经纪是怎么做到的呢?这就是小概率谬误。原理很简单,他每天跟无数个客户群发消息,同一个股票,对一半的客户说涨,对另一半的客户说跌, 每天都有一半中,一半不中。几轮下来,总有一批是每次都说对的,连中那么多次,肯定就心甘情愿掏钱了!

 

现在有不少所谓金融公司,还在玩这个古老的把戏,上当的人一点都不少。

 

基数大的时候,小概率事件就很容易发生了。好像某个疾病的发病率如果是十万分之一,你放到中国人口基数那么大的国家,那生病的也会上万。网络又透明,那给人的感觉就是到处都有人得病。

 

又例如说星座、算命,说中一两个点你就会觉得不得了,其实完全就是瞎猫撞上死耗子。所以无论多小的小概率事件,只要在大基数的环境下,它也是会多次发生的。

 

学数学,概率是重中之重啊!

 

4  
误机谬误

 

有位数学家说过这么一句话:如果你从来没误过机,说明你浪费在机场等待的时间太多了。

 

你仔细想想就会发现,你为了万无一失早早出门,多年累计下来在机场耽搁的时间成本,已经远远大于你误机的损失了。

 

正确的方法,应该是把你误机的概率,和你因为误机造成的损失乘起来,再去和你浪费的时间做比较。

 

 

这个模型怎么理解呢?

 

好比你看中一个心爱之物,要剁手,然后一个晚上蹲在电脑前面比来比去。省是省了一点钱,一个晚上的时间就赔进去了,亏不亏?!

 

所以可以用这样的模型:X位数以下的东西,只会花N分钟的调查时间(X和N根据你时间的值钱程度和调查会带来的节省金额而定),例如说:一千块以下的东西,决策时间不超过20分钟。

 

除了买东西这种直接体现在钞票数额上的事情以外,其它决策也一样,所以我之前也说过:做事要抓大放小,小事情真不用想太多,因为选什么结果都差不多,犯不上花那么高的决策成本。

 

误机谬误说明了:你为了避免某件事而付出的成本,很可能已经远远大于此事本身所带来的损失了。

 

 

5  
决策模型

 

前天说到彩票,一个很熟的读者,西安交大数学高材生杰杰就表示不服:说数学是让我们认知到彩票如何不靠谱。

 

那我这里就要矫正他一下:数学是让我们认知到彩票靠不靠谱。

 

彩票中奖概率是可以用模型算出来的。

 

一般来说:我们玩彩票都是用这个简单粗暴的心理模型的:虽然是小概率事件,但是苍天有眼万一中的是我怎么办?

 

这个想法很好,支撑我们的福利事业一路走到今天。但聪明的人,用数学模型当工具去帮助决策。

 

为了明白模型,我们简化一下玩法:假设一共发放1000W张彩票,每章彩票一块钱,只有一张能中奖,金额600W,咱们算一下哈:假设全部卖出,总收入是1000W,奖金600W, 期望值是:

 

(9,999,999/10,000,000)X0+(1/10,000,000)X6,000,000

=0.6

就是说,每章彩票只值六毛钱,你花一块钱去买就是赔本的。

 

期望值公式,就是一个帮我们做决策的数学模型。你用这个模型去算一下市面上所有的彩票,都是期望值低于售价的,所以杰杰的话在此处成立。

 

但也有不成立的时候。2005年美国出现了一个叫 Cash Winfall的彩票。

 

 

它有个特别的地方,就是头奖奖池积累过一定金额,它就会向下分配,增加小奖的金额。所以,每次奖池向下分配的时候,它的期望值就会急剧上升,超过彩票的售价。你一算就会发现:

 

 

期望值已经达到售价的两倍多!

 

麻省理工(MIT)有批大学生立刻发现了这个空子,就集资大规模地购彩,最后发展到连老师都不上班了跟着买,一起从政府那儿坑到几百万刀。不过这群孩子被举报了,结果Cash Winfall就被政府停了。

 

其实这种事情也不是第一次发生了,十八世纪的法国,思想启蒙三杰最出名的伏尔泰就专门搞这个。当时有种期望值远高于售价的彩票,就被他捡着了,几下就实现了财务自由,于是他就去搞研究了。

 

 

还有好多个现代思想家也是这样的。写《黑天鹅》和《反脆弱》的Nassim Talib,被纽约时报评为本世纪最有影响力的50个思想家之一。原来就是个股票交易员,在911时用“像买彩票一样地做股票”的策略,重仓做空,一夜暴富。也因此成就这么优秀的作品。

 

讲彩票的故事,其实是想告诉你,世界上万事万物,背后都有一套数学模型。你去赌场,去股市,去买基金,真正面对的都不是庄家、券商,而是高斯,泰勒,伯努利,凯利这些人类历史上最伟大的大数学家。

 

有些看似随机的事件,当一个人用数学的眼光去审视时,规律就跃然纸上。

 

6  
总结

 

归结了那么多个例子,就是想说明两点:

 

娃为什么要学数学?学好数学有什么好处?

 

世界上所有的事物和现象,最后都有可以描述它的数学模型。数学是这个世界所有表象的最高度抽象,它是一种强有力地帮助人类清晰正确地认知这个世界纷繁现象背后本质的工具,帮我们更加客观地去审视世界。好像X光一样,帮我们看到很多用直觉,用肉眼看不到的东西,帮助我们做出正确的决策。

 

它跟学校无关,跟考试无关。学好数学,就是适应抽象!

 

人类进入了大数据时代,《人类简史》的姐妹篇《未来简史》中说到——信数据得永生。所以,孩子第一应该学好语言(包括中英,因为语言是学习行为的第一个工具),第二要学会自学。如果可以,那就请学好数学吧!